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突破!數學家又解決了一個數學難題,「拉姆齊數」獲得重大突破~
2023/03/30

拉姆齊數是一個看似簡單卻又難以捉摸的數學概念,它描述了一個群體中需要有多少個元素才能保證其中一定數量的元素之間存在某種聯系。

在組合數學上,拉姆齊定理,又稱拉姆齊二染色定理,斷言對任意正整數k和l,若一個聚會的人數n足夠大,則無論相識關系如何,必定有k個人相識或l個人互不相識。

一個常用的比喻是聚會:你需要邀請多少人參加一個聚會,才能保證一定會有三個人彼此認識,或者三個人彼此陌生?對于3來說,拉姆齊數是6。如果你想保證一定會有四個人彼此認識,或者四個人彼此陌生,你就需要把賓客名單擴大到18。但是對于5來說,拉姆齊數是多少呢?

克萊布什圖

數學家只能說它在43和48之間。而隨著數字變大,這個問題就變得越來越難以解決。網絡中的節點越多,可能的連接和結構就越多。「有太多的可能性,以至于你無法用暴力方法來解決它」,巴西純粹與應用數學研究所(IMPA)博士生馬塞洛·坎波斯(Marcelo Campos)說。他是這項研究的合著者之一。

埃爾德什·帕爾,其音讀作air-dish,匈牙利語中的意思是來自山林,英語中作保羅·埃爾德什。匈牙利籍猶太人,發表論文高達1525篇,為現時發表論文數最多的數學家;曾和511人合寫論文。

數學家可以給出任意一個拉姆齊數的范圍。1935年,數學家保羅·埃爾德什(Paul Erdös)發現了任意一個拉姆齊數的最大值是4的N次方。1947年,他又發現了任意一個拉姆齊數的最小值是2的N次方開平方。然而,在這兩個上下界之間,還有很大的空間,而研究人員已經試圖縮小這個差距幾十年了。「基本上,這個界限一直卡在那里」,加州理工學院(Caltech)數學教授戴維·康倫(David Conlon)說。

但現在,坎波斯和他的同事們在這個上界上取得了進展:他們可以說任意一個網絡的拉姆齊數的最大值是3.993的N次方,而不是4的N次方。

他們是如何做到的呢?他們利用了一種叫做「正則性引理」的工具,它可以將復雜的網絡分解為更簡單、更規則、更容易處理的子網絡。「正則性引理」本身并不新鮮,它已經存在了幾十年,但它非常難以應用。「它非常強大,但也非常抽象」,坎波斯說。「你必須找到一種方法來使用它。」

坎波斯和他的同事們找到了一種方法。他們首先將網絡分成兩部分:一部分包含所有節點之間可能存在的連接,另一部分包含所有節點之間實際存在的連接。然后,他們用「正則性引理」來分析第一部分,找出其中的規律和結構。接下來,他們用一種叫做「容器方法」的技術來處理第二部分,找出其中的異常和變化。最后,他們將兩部分結合起來,得到了一個更精確的上界。

這個方法的優點是它可以適用于任何網絡,而不僅僅是拉姆齊數問題。「我們的結果是非常一般的,它可以應用于任何類型的圖論問題」,坎波斯說。「我們希望這個方法能夠激發更多的研究和進展。」

康倫說,這項研究是一個「非常漂亮」的結果,它展示了數學家如何利用不同的工具來解決難題。「這是一個非常困難的領域,所以任何進步都是非常令人興奮的」,他說。

拉姆齊數問題雖然看起來很抽象,但它實際上與現實生活中的許多問題有關。例如,它可以幫助理解社交網絡中的群體形成,或者加密系統中的安全性。「拉姆齊數問題是一個很基本的問題,它涉及到很多其他領域」,坎波斯說。「如果我們能夠更好地理解它,我們就能夠更好地理解其他問題。」

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